سطر اول جدول زیر، نشان می‌دهد که مجموع زاویه‌های خارجی یک مثلث برابر ۳۶۰ درجه است.
الف) جدول را کامل کنید و مجموع زاویه‌های خارجی شکل‌های بعدی را به دست آورید.
برای کامل کردن جدول، از فرمول‌های مربوط به زوایای داخلی و خارجی چندضلعی‌ها استفاده می‌کنیم. نکته کلیدی این است که در هر رأس، مجموع زاویه داخلی و خارجی $۱۸۰$ درجه است.
- **مجموع زوایای داخلی:** $ (n-۲) \times ۱۸۰^\circ $
- **مجموع زوایای داخلی و خارجی:** $ n \times ۱۸۰^\circ $
- **مجموع زوایای خارجی:** $ (n \times ۱۸۰^\circ) - ((n-۲) \times ۱۸۰^\circ) = (n-n+۲) \times ۱۸۰^\circ = ۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ $
این محاسبات نشان می‌دهد که مجموع زوایای خارجی برای هر چندضلعی محدب، **همیشه ۳۶۰ درجه است**.
**جدول کامل شده:**
| تعداد ضلع‌ها | مجموع زوایای داخلی | مجموع زوایای داخلی و خارجی | مجموع زوایای خارجی |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **۳** | $۱ \times ۱۸۰^\circ$ | $۳ \times ۱۸۰^\circ$ | $۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ$ |
| **۴** | $۲ \times ۱۸۰^\circ$ | $۴ \times ۱۸۰^\circ$ | $۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ$ |
| **۵** | $۳ \times ۱۸۰^\circ$ | $۵ \times ۱۸۰^\circ$ | $۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ$ |
| **۶** | $۴ \times ۱۸۰^\circ$ | $۶ \times ۱۸۰^\circ$ | $۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ$ |
| **n** | $(n-۲) \times ۱۸۰^\circ$ | $n \times ۱۸۰^\circ$ | $۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ$ |
ب) فکر می‌کنید مجموع زاویه‌های خارجی یک هفت ضلعی چند درجه است؟ یک هشت ضلعی چطور؟
همان‌طور که در جدول فعالیت قبل مشاهده شد، مجموع زوایای خارجی (یک زاویه در هر رأس) برای **هر چندضلعی محدب**، صرف نظر از تعداد اضلاع آن، همیشه یک مقدار ثابت است.
- مجموع زاویه‌های خارجی یک هفت‌ضلعی برابر با **$۳۶۰$ درجه** است.
- مجموع زاویه‌های خارجی یک هشت‌ضلعی نیز برابر با **$۳۶۰$ درجه** است.
۲- اندازۀ دو زاویه یک مثلث را می‌دانیم؛ پس می‌توانیم اندازۀ زاویۀ سوم آن را پیدا کنیم. (چگونه؟)
برای اینکه بتوانیم اندازۀ همۀ زاویه‌های هر یک از شکل‌های زیر را پیدا کنیم، دست کم چند تا از آنها باید معلوم باشند؟
الف) لوزی
ب) چهارضلعی با ضلع‌های نامساوی
**مثلث:**
برای پیدا کردن زاویه سوم یک مثلث، دو زاویه معلوم را با هم جمع کرده و حاصل را از $۱۸۰$ درجه کم می‌کنیم. زیرا **مجموع زوایای داخلی هر مثلث همواره $۱۸۰$ درجه است**.
---
**حداقل تعداد زوایای معلوم برای پیدا کردن بقیه زوایا:**
**الف) لوزی:**
برای پیدا کردن تمام زوایای یک لوزی، دانستن اندازه **دست کم ۱ زاویه** کافی است.
**چرا؟** لوزی نوعی متوازی‌الاضلاع است، پس:
۱. زاویه روبه‌رو با زاویه معلوم، برابر با همان زاویه است.
۲. دو زاویه دیگر که مجاور زاویه معلوم هستند، هر دو مکمل آن هستند (مجموعشان با زاویه معلوم $۱۸۰$ درجه می‌شود).
**ب) چهارضلعی با ضلع‌های نامساوی (چهارضلعی دلخواه):**
برای پیدا کردن تمام زوایای یک چهارضلعی دلخواه، باید اندازه **دست کم ۳ زاویه** معلوم باشد.
**چرا؟** تنها ویژگی کلی زوایای یک چهارضلعی این است که **مجموع آنها $۳۶۰$ درجه است**. بنابراین، اگر سه زاویه را داشته باشیم، می‌توانیم مجموع آنها را از ۳۶۰ کم کنیم تا زاویه چهارم به دست آید.
